Mystery of the Fibonacci sequence || ফিবোনাচি ধারার রহস্য

 

0  1  1  2  3  5  8  13  21  34  55  89  144  233 …………

 

উপরের ডিজিট গুলোর মাঝে একটা মজার ব্যাপার আছে, বলুন দেখি ব্যাপার টা কি? হ্যা, ধরে ফেলেছেন। এই ধারার প্রত্যেকটি ডিজিট তার আগের দুইটি ডিজিটের যোগফল। আর এই ধারাটাকেই বলা হয় ফিবোনাচি ধারা এবং আমি সহ অনেকের ধারনা ব্যাপক রহস্যময় ধারা।ইতালিয়ান গণিতবিদ লিউনার্দো ফিবোনাচি এই ধারাটি প্রকাশ করেন।

প্রথম থেকেই বলে আসছি রহস্যময়তার কথা, আসুন এখনি কিছু উদাহরন দেখি। কিন্তু তার আগে আমাদের অনেক গুলো ফিবোনাচি সংখ্যা দরকার, চলুন এক নজরে প্রথম ৪৭ টা ফিবোনাচি সংখ্যা দেখে নেই-

F₀ 0 | F₁ 1 | F₂ 1 | F₃ 2 | F₄ 3 | F₅ 5 | F₆ 8 | F₇ 13 | F₈ 21  | F₉ 34 F₁₀ 55 | F₁₁ 89 | F₁₂ 144 | F₁₃ 233 | F₁₄ 377 | F₁₅ 610 | F₁₆ 987 | F₁₇ 1597 | F₁₈ 2584 | F₁₉ 4181 | F₂₀ 6765 | F₂₁ 10946 | F₂₂ 17711 | F₂₃ 28657 | F₂₄ 46368 | F₂₅ 75025 | F₂₆ 121393 | F₂₇ 196418 | F₂₈ 317811 | F₂₉ 514229 | F₃₀ 832040 | F₃₁ 1346269 | F₃₂ 2178309 | F₃₃ 3524578 | F₃₄ 5702887 | F₃₅ 9227465 | F₃₆ 14930352 | F₃₇ 24157817 | F₃₈ 39088169 | F₃₉ 63245986 | F₄₀ 102334155 | F₄₁ 165580141 | F₄₂ 267914296 | F₄₃ 433494437 | F₄₄ 701408733 | F₄₅ 1134903170 | F₄₆ 1836311903

আমরা এক কাজ করি, এই লিস্ট থেকে পরপর যেকোনো 4 টি সংখ্যা নেই।

8   13   21   34

এখন ১ম সংখ্যার সাথে ৪র্থ সংখ্যাটি যোগ করি : 8+34= 42

২য় সংখ্যা সাথে ৩য় সংখ্যা যোগ করি : 13+21= 34

এখন যোগফল দুটি বিয়োগ করলে 42-34= 8 !! সেই প্রথম সংখ্যাটি

অর্থাৎ ফিবোনাচি ধারার যেকোনো ৪ টি সংখ্যার শেষের দুটির যোগফল এবং মাঝের দুটির যোগফলের পার্থক্য প্রথম সংখ্যাটার সমান।

গানিতিক ভাষায়-

(F_n +F_n+4) – (F_n+3 +F_n+2) = Fn

এবার দেখি আরেকটা মজার ব্যাপার, উপরের ফিবোনাচি সংখ্যাগুলো যেগুলো ২ বা তার বেশি ডিজিটের সেগুলোর শেষ ডিজিট গুলো লিখি-

3  1  4  5  9  4  3…………

একটু খেয়াল করলেই দেখবেন এই নতুন ধারাটারও যেকোনো ডিজিট তার আগের ২ ডিজিটের যোগফলের শেষ ডিজিটের সমান। যেমন 9+4=13, এর শেষ ডিজিট 3 ।

আরেকটা অদ্ভুত ব্যাপার হল ফিবোনাচি ধারার প্রতি 60 ফিবোনাচি সংখ্যার পর আবার ফিবোনাচি ধারাই শেষ ডিজিট হিসেবে ফিরে আসে। যেমন-

F₆₀ =1548008755920

F₆₁ =2504730781961

F₆₂ =4052739537881

F₆₃ =6557470319842

F₆₄ =10610209857723

F₆₅ =17167680177565

শেষ ডিজিটগুলো 0  1  1  2  3  5……. আবার ফিবোনাচি সংখ্যা!!!

এতখন আসলে ফিবোনাচি ধারার বৈশিস্ট্য সম্পর্কে বলছিলাম, ফিবোনাচি ধারার আসল মাহার্থ হচ্ছে প্রকৃতির মাঝে ছড়ানো ছিটানো ভাবে থাকা এই ধারা। চলুন দেখি–

মৌমছির জীবন টা একটু অদ্ভুত। একটি ছেলে মৌমাছির জন্ম দেয় শুধু মা মৌমাছি, তার জন্য বাবা মৌমাছির প্রয়োজন নেই। কিন্তু একটি মেয়ে মৌমাছির জন্ম দেয়ার জন্য বাবা এবং মা উভয়েরই প্রয়োজন হয়। আমরা যদি মেয়ে মৌমাছিকে F আর ছেলে মৌমাছিকে M ধরে একটা বংশতালিকা করি তাহলে চিত্রটা এমন হবে-

 

                                                                            মৌমাছির বংশতালিকা

উপর থেকে মৌমাছির পরিবারে সদস্য সংখ্যা গুনতে থাকেলে দেখা যাবে- 0  1  1  2  3  5  8  13  21……., ফিবোনাচি ধারা!!!

আসুন এইবার একটু খরগোসের জীবন চক্র দেখি। এক জোড়া খরগোস বড় হতে সময় লাগে ১মাস।বড় হবার পর ২য় মাস থেকে প্রতিমাসে মেয়ে খরগোসটি ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে অর্থাৎ এক জোড়া খরগোসের জন্ম দেয়। এখন একটু হিসেব করি।

 

মাস-১ ; ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে বাচ্চা খরগোস ; জোড়া সংখ্যা-১

এই জোড়া বাচ্চা খরগোস গুলোর বড় হতে ১ মাস সময় লাগবে, ফলে-

মাস-২; ১টি ছেলে আর ১টি মেয়ে বড় খরগোস ;  জোড়া সংখ্যা-১

বড় হওয়ার পর তারা একজোড়া বাচ্চা খরগোস জন্ম দেবে, তাহলে-

মাস-৩; ১ জোড়া বাচ্চা খরগোস আর ১ জোড়া বড় খরগোস; জোড়া সংখ্যা-২

এরপর, বাচ্চা খরগোস গুলো ১ মাসে বড় হবে এবং এই সময়ের মাঝে বড় খরগোস আরেক জোড়া বাচ্চার জন্ম দেবে, তাই-

মাস-৪; ১ জোড়া বাচ্চা খরগোস আর ২ জোড়া বড় খরগোস, জোড়া সংখ্যা-৩

এর পরের মাসে, ১ মাসে বাচ্চা খরগোস বড় হবে এর এর মাঝে বড় ২ জোড়া খরগোস আরোও ২ জোড়া বাচ্চা খরগোস জন্ম দেবে,

মাস-৫; ২ জোড়া বাচ্চা আর ৩ জোড়া বড় খরগোস,জোড়া সংখ্যা-৫……………… এভাবেই চলতে থাকবে।

তাহলে জোড়া সংখ্যা গুলো একটু লিখি- 1  1  2  3  5  ……..!!!! আমি কিছু বলব না, আপনারাই বুঝে নিন।

একটি গাছ কিভাবে বৃদ্ধি পায় তা খেয়াল করলে দেখব গাছ গুলোর ডাল পালা গজানোর একটা নিয়ম আছে, প্রতিটা শাখা তার আগের শাখার একটু উপরে থাকে এবং ঠিক একই জায়গায় কখনো দুইটা শাখা এক সাথে থাকে না, ঠিক নিচের ছবির মত-

 

                                                                                    গাছের শাখা

এখন যদি নিচ থেকে ডাল গুলোর সংখ্যা গুনতে গুনতে উপরে যাই তাহলে-

1 2 3 5 8 13……………….. ফিবোনাচি সংখ্যা!!
এবার পাতায় আসি, পান বা সূর্যমুখি গাছের মত যে সব গাছ আছে তার পাতাগুলো কিভাবে থাকে? নিচের ছবিটা দেখি-

পাতা গুলো খেয়াল করি, বিভিন্ন দিকে ছড়িয়ে আছে। পাতাগুলোতে নাম্বার দেয়া আছে। আমরা এখন দেখি, কোন কোন পাতা গুলো একই অভিমূখে আছে। এখানে, 6  এবং 14 নাম্বার পাতা দুটো একই অভিমুখে আছে। তাহলে এই একই অভিমুখের দুটি পাতার মাঝে কত গুলো পাতা আছে? ঠিক ধরেছেন- 14-6 = 8, একটি ফিবোনাচি সংখ্যা!! আমরা ছবিটা একটু উপর থেকে দেখি-

এখন দেখা যায়,  ১,৯ একই অভিমুখে, পার্থক্য ৮, ফিবোনাচি  সংখ্যা!, ২,৭ একই অভিমুখে, পার্থক্য ৫, ফিবোনাচি  সংখ্যা!! ২,১৫ ও একই অভিমুখে, পার্থক্য ১৩, ফিবোনাচি  সংখ্যা!!…………ফিবোনাচি  সংখ্যা!ফিবোনাচি  সংখ্যা!!ফিবোনাচি  সংখ্যা!!!
আসলে উদ্ভিদবিজ্ঞানে এই ফিবোনাচি ধারা ব্যাপক ভাবে ছড়িয়ে আছে, ফুলের পাপড়িতে, সূর্যমুখি ফুলের বীজে, ফুলকপি ইত্যাদি অনেক জায়গায় অনেক ভাবে এই ফিবোনাচি ধারা পাওয়া যায়।এগুলো নিয়ে পরবর্তি পর্বে আরও বিস্তারিত ভাবে আলোচনা হবে, তবে এখন আমরা গাছ গাছালির কথা বাদ দেই। আমরা এখন খাতা কলম নিয়ে কিছু কাজ করি। আমরা  যে কোনো দুইটি পাশাপাশি ফিবোনাচি সংখ্যা ( যেমন- ১৩ এবং ৮ ) নিয়ে নিচের মত করে একটা আয়তক্ষেত্র আঁকি।

এবার যদি আমরা এই আয়তক্ষেত্র এর মাঝে একটা দাগ টেনে নিচের মত করে একটা বর্গক্ষেত্র আঁকি তাহলে এর বাম পাশে আরেকটা আয়ত উৎপন্ন হবে-

অর্থাৎ বাম পাশে ৮*৮ এর একটা বর্গ এবং ডান পাশে ৮*৫ এর একটা আয়ত উৎপন্ন হবে। মজার ব্যাপার হল ডান পাশের আয়ত এর   দৈঘ এবং প্রস্থ ফিবোনাচি সংখ্যা। এবার আগের মত করে ডান পাশের আয়ত এর মাঝে একটা দাগ টেনে বর্গ আকা যায়-

এখন আবার ডান পাশের উপরে ৫*৫ এর বর্গ এবং ডান পাশের নিচে ৫*৩( ফিবোনাচি সংখ্যা !) আয়ত উৎপন্ন হয়। একই ভাবে নিচের আয়ত এর মাঝে দাগ টেনে বর্গ আকলেও একি ভাবে আরেকটা আয়ত পাবো। এভাবে আকতে থাকলে নিচের চিত্রের মত দেখাবে-

এবার বাম পশের নিচের কোন থেকে প্রত্যেক কোনায় দাগ টেনে যোগ করলে নিচের মত হবে-

এই নকশাটাকে বলা হয় ফিবোনাচি স্পাইরাল। নকশাটা নিশ্চই চিনতে পেরেছেন। যারা পারেন নি তাদের জন্য নিচের ছবি টা-

 

তাহলে দেখা গেলো শামুকের খোলের ডিজাইনেও ফিবোনাচি ধারার কারসাজি। এই হল ফিবোনাচি ধারার রহস্য। নিচে আরোও কিছু ছবি দিচ্ছি, দেখুন কেমন লাগে-

 

 

আমাদের সৌরজগৎ যে ছায়াপথে আছে তার নাম মিল্কিওয়ে।মিল্কিওয়ে ছায়াপথ দেখতে এই রকম,এতেও লুকিয়ে রয়েছে ফিবোনাচি সংখ্যা।

 

Share on Google Plus

About BSFU

Better Solution For You is a knowledge sharing website. So keep in touch.